Lenguaje común y lenguaje algebraico

LENGUAJE COMÚN	LENGUAJE ALGEBRÁICO
La edad de Estela es el triple de la de su hermana y ambas edades suman 40 años.	h+3h=40 h+e=40
Al comprar un bolso se hace un descuento  de $13.50 y se pagan $122.50, ¿cuál era el costo del bolso?	c-13.50=122.50
Entre Marilú y Cecilia tienen $1154, Cecilia tiene $506 menos que Marilú, ¿cuánto tienen cada uno?	m+c=1154 c+506=m m-506=c
La masa de mi hijo es un tercio que la de mi sobrina más 100 gramos.	h=5/3+100
Por un costal de 8kg de café se pagan $740, ¿cuánto cuesta un kilogramo?	K=740/8
La quinta parte de un paste pesa 0.54 kg, ¿cuánto pesa el pastel entero?	p/5=0.45 p=e
A una fiesta asistieron 40 personas, si son 5 mujeres menos que el doble de hombres, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres asistieron?	m=2h-5 (m)+(2h-5)=40
Una familia pagó $70 por dos boletos de adulto y cuatro de niño	2a+4n=70
La suma de las edades de tres personas es igual a 88.	n+d+y=88
Juan tiene 24 años menos que su papá.	J=p-24

Reducción de términos semejantes

Signos de agrupación

Operaciones con fracciones

RESTA

Para restar fracciones de igual denominador común, se restan los numeradores y esta diferencia se parte por el denominador común, luego se simplifica el resultado y se encuentran los enteros, si los hay.

Resta con diferente denominador

Para restar fracciones con diferente denominador se simplifican las fracciones, si esto es posible. Una vez irreducibles, se reducen al mínimo común denominador y se restan igual que en el caso anterior.

Resta de enteros y fracciones

Para restar enteros y fracciones se quita una unidad al entero, la cual se pone en forma de fracción de igual denominador que la fracción dada, y se restan ambos.

Resta de números mixtos

La resta de números mixtos puede efectuarse por dos procedimientos:

Primero se restan separadamente los enteros y las fracciones  y a la resta de los enteros se añade la resta de las fracciones.

Ejemplo:

En el segundo procedimiento se reducen los mixtos a fracciones y se restan como fracciones.

Resta de números enteros y mixtos

Para restar números enteros y mixtos se quita una cantidad al entero, al cual se pone en forma de fracción de igual denominador que la fracción del sustraendo, y luego se restan separadamente enteros y fracciones.

Resta de mixtos y enteros

Para restar mixtos y enteros, se resta el entero de los enteros de número mixto.

Ejemplo:

Combinación de suma y resta

Para la suma y resta combinadas de fracciones se simplifican las fracciones dadas, si esto es posible, luego se reducen al mínimo común denominador y se hacen las operaciones.

Evaluación numérica de expresiones algebraicas

Para evaluar una expresión algebraica es necesario asignar valores a las literales y posteriormente efectuar las operaciones que se indican. Ejemplo:

5pq

Evaluar la expresión anterior cuando "p" vale 9 y "q" vale 12.

5(9)(12)=540 Se sustituyen las literales por los valores.

Operaciones con fracciones

SUMA

• Suma de fracciones con igual denominador

Para sumar fracciones de igual denominador se suman los numeradores y el resultado se parte por el denominador común, luego se simplifica el resultado y se encuentran los enteros, si los hay.

Realiza los ejercicios correspondientes.
Denominador común

• Suma de fracciones con denominador diferente

Para sumar fracciones de distinto denominador primero se simplifican las fracciones dadas, si esto es posible.

Una vez irreducibles se reducen al mínimo común denominador y se suman igual que en el caso anterior.

• Suma de fracciones mixtas

La suma de fracciones mixtas puede verificarse siguiendo dos procedimientos.

En el primero, se suman separadamente los enteros y las fracciones.

A la suma de los enteros se añade la suma de los quebrados, y el resultado es la suma total.

En el segundo procedimiento se reducen los mixtos a fracciones y éstos se suman.

Operaciones con fracciones

Entre los siglos VI y VII, los hindúes desarrollaron
las primeras reglas para resolver operaciones fraccionarias.
Dos hombres Mahavira y Bháskara ampliaron y
perfeccionaron esas reglas.

Las operaciones aritméticas básicas con fracciones son : suma, resta, multiplicación y división.

La suma de números fraccionarios presenta dos casos, dependiendo de que los números que se sumen tenan igual o distinto denominador.

La resta de números fraccionarios es un caso particular de la suma ya que restar dos números fraccionarios no es más que sumar al primero de ellos el opuesto del otro.

El producto de los números racionales o fraccionarios cumple las propiedades uniforme, asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento simétrico.

Para dividir dos números racionales basta con multiplicar el primero por el inverso del segundo. O sea, la división es un caso particular de la multiplicaión de números racionales.

ACTIVIDAD:

Es base a lo anterior responde las siguientes preguntas.

1.- ¿Quiénes ampliaron y perfeccionaron las reglas para resolver operaciones fraccionarias?

2.- ¿Cuáles son las operaciones aritméticas básicas con fracciones?

OPERACIONES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA

Suma

Estructura de la operación

Si los sumandos tienen el mismo signo, se suman y prevalece el signo de ambos.

Resta

Si tienen signos iguales se suman y prevalece el signo.

Si tienen signos diferentes, al número mayor se le resta el menor y prevalece el signo del número mayor.

Multiplicación

Es el número de veces de un factor que se debe sumar consigo mismo tantas veces como lo indica el otro factor.

División

Consiste en averiguar cuántas veces cabe un número en otro.

 

Potenciación

Es una multiplicación de un factor llamado base tantas veces como su exponente lo indique.

Radicación

Es la operación inversa de la potenciación.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

 A lo largo de tiempo, se han ido creando diversos conjuntos matemáticos (clasificaciones) que aparecieron de acuerdo con el avance y desarrollo de los pueblos.

Los números se clasifican en:

·         Número natural: Aquel que nos sirve para contar o numerar. Se representa con una N.

Estos números son divididos por los axiomas de Peano:

 1.- N contiene un número denominado uno.

2.- A cualquier elemento perteneciente a N se le pueden asociar un elemento b de N, llamado siguiente y denotado por b=a.

3.- El uno no es siguiente de ningún elemento de N; en cambio, cualquier otro elemento de N es el siguiente de otro.

4.-Dos elementos de N son iguales sí y sólo si sus siguientes son iguales.

5.- N verifica el axioma de inducción completa.

·         Número entero: Se representa con Z.

 Z= (… -n,… -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,… +n,…)

Están formados por enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Siendo los enteros positivos, los números naturales.

·         Números racionales: Todo número que puede expresarse como fracciones de números enteros de la forma p/q, siendo q un entero distinto de cero. Representados con una Q.

Ejemplo:

¼, ½, ¾, ⅝, ⅘, ⅔

·         Número irracional: Consta de un número infinito de cifras decimales en las que nunca se forma un periodo. Se representa con una I.

Ejemplo:

 -2.64575…, e=2.71828

 

·         Numero real: Representados por una R.

        Donde incluye todos los conjuntos de números.

        Ejemplo:

-2, -¾, 0, 5,…

Expresiones algebraicas

Propiedades de los números reales

Antecedentes históricos del Álgebra